魔術方塊 Rubik’s Cube

本文來自這兒，看了之後才知道魔術方塊的英文叫 Rubik’s Cube。我現在二層完全沒問題，第三層老是記不住，也試過要去手能生腳，哦是「熟能生巧」，可是玩了很久還是一樣，可憐的記性。怕文章不見了，轉貼一下。

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寓數學於魔術方塊
‧科學人 2008/08/13
玩魔術方塊的樂趣不只轉一轉而已，其中的數學也大有學問，各式各樣的方塊更要你大開眼界！
【文╱郭君逸】

(照片提供/科學人)
魔術方塊， 廣東話稱做「扭力骰」，英文為「Rubik’s Cube」，它是在1974年由匈牙利的建築系教授魯比克（ErnRubik）所發明，一開始他只是突發奇想地問學生，如何設計一個3×3×3的方塊，讓人可以轉動，又不會散開來？結果真的有學生做出來了，它的中心結構如右頁下方插圖，並且一直沿用至今。最初這個方塊是用木頭做的，經過上色之後，才發現要還原它是一件非常困難的事，因此有人提議將上色的方塊做成益智玩具出售。

魯比克也在1975年為他的魔術方塊申請了專利，1979年風行於歐洲，當時風靡的程度，幾乎是人手一顆。電影「當幸福來敲門」（Pursuit of Happyness）就是改編於這個時期發生的一個真實故事，威爾史密斯飾演的主角賈納是一個窮途潦的低收入戶，為了應徵某證券公司的實習職缺，投了上百封的履歷都石沉大海；是在某次下班時，假藉順路之由厚著臉皮跟公司經理上了計程車，一路上賈納口沫橫飛地為自己爭取工作機會，經理卻一個字也沒聽進去，因為他正專心轉著手上的魔術方塊；後來賈納幫經理完成了手上的方塊，也因此贏得了到公司實習的機會。電影中的計程車司機邊開車，手上也邊拿著一個魔術方塊在轉，可見當時魔術方塊流行的程度。

台灣的魔術方塊從1990年代開始流行，從一顆要價數百元，逐漸普及到只要幾十塊就可以在夜市或路邊攤買到。筆者所認識的兩位對台灣魔術方塊界貢獻良多的愛好者，一位是1990年左右台大魔術社第二屆社長趙承宗，他後來「退隱江湖」了；另一位是2004年左右成立交大魔術社的鄭維駿，現在正在美國康乃爾大學讀電子工程研究所。看起來，似乎喜歡玩魔術的人，都會喜歡玩魔術方塊。

背公式解魔方

魔術方塊發展了近30年了，最短破解時間的世界紀錄每年都在翻新，除了玩家不斷的練習、心得交流之外，靠的就是公式的不斷改進。事實上，坊間流傳的解法很多，不過最常見的就是依一層一層的順序來完成。第一層相信讀者只要把玩個幾十分鐘應該就會了；第二層大概就需要有人指導，才能夠了解其中的邏輯；第三層則很少有人能夠獨立想出解法，原因是要把第三層轉好，又要維持前兩層不被打亂，非常困難，這也是魔術方塊的精神所在。所幸前人已經整理出不少第三層的公式，只要能夠看得懂公式的運作，照著公式就能轉好。

公式可以分成兩種類型，一種適合初學者，另一種適合追求極速的玩家（speedcuber）。適用於初學者的公式，講求的就是盡量好記，能夠花最少的時間學會如何完成魔術方塊，避免因為背得頭昏腦脹而半途而廢。坊間有人宣稱只要四個公式即能完成魔術方塊，或是只要三個、兩個，甚至不用公式。少一、兩個公式的原因，只是把公式的記憶轉嫁到公式的判斷上，必須花更多的時間去記「發生什麼情況時，要做什麼事情」，反而記憶的東西更多。因此如何設計一個容易記憶、讓空間概念不好的人也能學會轉魔術方塊、隔幾個月沒玩還是能夠記得、真正適合初學者的公式，其實也是值得探討的課題。至於要能夠在半分鐘、甚至10秒內就完成方塊的公式，所講求的目標完全不同。追求極速的玩家，會發自內心有一股熱忱，為了多快一、兩秒，再多公式也背得起來。此類公式的訴求就是省時間，不管是「判斷時間」或是「轉的時間」都要盡量的減少，這種我們稱做「速解魔方」（speedcubing）。速解魔方公式的始祖是美國賓漢頓大學教授弗雷德里奇（JessicaFridrich），她設計了70幾個公式，宣稱17秒能完成方塊，現今速解魔方玩家的公式大多改編自她的公式。

很多人都難以置信，為什麼有人可以不到10秒就轉好一個方塊？其實，除了背多一點公式外，就只有「練習再練習」。這就好比學倉頡或無蝦米這種字根式的輸入法，一開始要慢慢背各種字根，然後學習看到一個中文字，就知道怎麼拆碼，最後就是一天打上個一、兩個小時，練到後來，看到字，都是非常直覺地打出來，完全不經思考。魔術方塊要轉得快，一開始也是慢慢背針對各種情況的公式，然後每天練個一、兩個小時，練到能以直覺反應來轉的程度，眼睛一瞥，手就自動迅速地轉了起來；所以常常看到有人可以轉非常快，但請他慢慢轉，他反而轉不出來。

上帝的數字

其實魔術方塊不只好玩，它在數學上用到了極多代數中的李群、群論，還有一些離散數學及機率。其實有機會上這些課的時候，都可以想想它在魔術方塊上的應用，純理論的課會因此變得生動些。

魔術方塊發展至今已有不少研究了，其中最大的課題就是「任意的三階魔術方塊，可以保證最少幾步完成？」1982年佛雷（Alexander H. Frey, Jr.）與辛馬斯特（David Singmaster）合著的《魔術方塊手冊》（Handbook of Cubik）裡，稱這個答案為「上帝的數字」（God's number），並證明這個數字介於17~52之間；也就是說，任意亂的情況，都可以在52步內完成，而且有一些情況保證至少要17步才能完成，書中並猜測上帝的數字為20。

這裡就要談到怎麼樣才算「一步」，常見的有兩種算法：一種是只要把一個面轉90度就算一步，稱做「quarter turnme t r ic」（QTM）；另一種是轉動一個面算一步，不管轉幾度，稱做「fa c e t u r nmet r ic」（FTM）。QTM中若把一個面轉180度，就算兩步，而在FTM中只算了一步，因此FTM的數字會比QTM的少，而一般沒特別指明的話，都是用 FTM來計數。

1995年，美國玩家瑞德（M i c h a e lRaid）證明了某些情況至少需要20步才能完成，他將這些情況稱做「Superflip」，同時，他也證明了可以在29步內完成所有的方塊（QTM為 42步），一口氣把上帝的數字範圍縮小到20~29之間。2006年，雷杜（Silviu Radu）用群論證明了上界可以再縮小到27步（QTM為34步），他將所有的情況分成幾類，並借助離散代數系統（GAP）證明出在27步內都能完成。

1990年，美國東北大學的電腦科學家古柏曼（Gene Cooperman）等人，在一個談代數編碼的研討會上，發表了「2×2×2的方塊皆可在11步內（QTM為14步）完成」；2007年，古柏曼與他的學生庫柯爾（Daniel Kunkle）將這個方法推廣到3×3×3的方塊上，設計了一個平行演算法，用20台超級電腦花了8000個小時，證明出26步內可以完成。2008年，美國史丹佛大學的羅區奇（To m a sR o k i c ki）繼證明25步即可完成後，5月又在「魔方領域」（Domain of the CubeForum）論壇中更進一步證明了23步即可完成，震驚了整個魔方界，不過這些結果到目前還沒有正式的論文出來。

【完整內容，請參閱科學人2008年第78期8月號】